ノート：群、環、体

数学

群 (Group)

復習→ ノート：群・モノイド・半群・マグマ(亜群) - 滴了庵日録

集合 G と 演算 ◦ の組 (G, ◦) が G0～G3をみたすなら群、G0～G1をみたすなら半群

  • (G0) 閉じている　　 ^{∀}a, b ∈ G,　a \circ b ∈ G
  • (G1) 結合法則　　　 ^{∀}a, b ∈ G,　a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c
  • (G2) 単位元の存在　 ^{∃}e ∈ G, ^{∀}a ∈ G,　a \circ e = e \circ a = a
  • (G3) 逆元の存在　　 ^{∀}a ∈ G, ^{∃}a^{-1} ∈ G,　a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e

さらにG4も満たすなら可換群(アーベル群)

  • (G4) 交換法則　　　 ^{∀}a, b ∈ G,　a \circ b = b \circ a

環 (Ring)

集合 R と 乗法・, 加法＋ の組 (R,＋,・) が R1～R3をみたすなら環

  • (R1) 加法について可換群である
  • (R2) 乗法について半群である
  • (R3) 分配法則　 ^{∀}a,b,c ∈ R,　a(b+c) = ab + ac,　(a+b)c = ac + bc

さらにR4も満たすなら可換環

  • (R4) 乗法の交換法則　 ^{∀}a, b ∈ R,　a・b = b・a

体 (Field)

集合 K と 乗法・, 加法＋ の組 (K,＋,・) が K1～K2をみたすなら体

  • (K1) 環である
  • (K2) K\backslash\{0\} が乗法について群をなす
  • これはつまり、ゼロ除算を除いて四則演算が可能であることを意味する
  • 有理数 Q、実数 R、複素数 C は体をなす
  • 整数 Z は乗法の逆元が1以外の元には存在しないので体をなさない

乗法の交換法則をみたす(つまり可換環である)必要があるかは定義による

  • 可換であるものを 体、そうでないのを 斜体 とよんだり
  • 可換であるものを 可換体、そうでないのを 体 とよんだり

ざっくり言うと

  • 群：足し算、引き算ができる
  • 環：足し算、引き算、掛け算ができる
  • 体：足し算、引き算、掛け算、割り算ができる

参考