ノート：全射・単射・全単射と準同型写像・同型写像

f：写像 (map)
X：定義域, 始域 (demain)
Y：終域 (codomain)
f : Ｘ→ Y

全射・単射・全単射

全射 (上への写像, surjection)

f(X) = Y
つまり $^{∀}y ∈ Y,　^{∃}x ∈ X,　f(x) = y$
Y の全ての元を指す → があること

単射 (1対1写像, injection)

$^{∀}x_1, x_2 ∈ X,　x_1 ≠ x_2,　f(x_1) ≠ f(x_2)$
異なる → が Y の同じ元を指さないこと

全単射 (上への1対1写像, 双射, bijection)

全射でありかつ単射であること
つまり $^{∀}y ∈ Y,　^{∃!}x ∈ X,　f(x) = y$
XとYの全ての元が1対1に対応していること
全単射であれば逆写像が定義できる

例

$f(x) = x^2$

f:R→R　…　全射でも単射でもない
f:R→[0,∞)　…　全射だが単射ではない
f:[0,∞)→R　…　単射だが全射ではない
f:[0,∞)→[0,∞)　…　全単射である

恒等写像と逆写像

恒等写像 (identity mapping)

f(X) = X
つまり $^{∀}x ∈ X,　f(x) = x$

恒等写像は全単射である

逆写像 (inverse mapping)

全単射の写像 f:X→Y には、逆写像 g:Y→X が一意に定まり
$f(x) = y ⇔ g(y) = x$

g(f(x)) = x であり、g◦f は恒等写像となる

準同型写像

準同型写像 (homomorphism)

準同型写像とは、同種の2つの代数系（例えば群）の間の写像で、演算の構造を保つもの

(A, ◦) と (B, ･) の間の写像 f:A→B において
$^{∀}x,y ∈ A,　f(x◦y) = f(x)･f(y)$

群G と群G' の間の写像 f が準同型写像であれば、

$f(e) = e'$ 　　　　　　(単位元は単位元にうつる)
$f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$ 　　(逆元は逆元にうつる)

例

正の実数全体 R+ が乗法に関してなす群 (R+, ×) と
実数全体 R が加法に関してなす群 (R, +) に対して、対数関数 log は
$\log(a\times b) = \log(a) + \log(b)$
よって log: R+ → R は準同型写像である
いわゆる「真数の掛け算は対数の足し算」というやつ