滴了庵日録

ノート：2次元の線形写像の幾何学的な意味

数学

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2次元の線形写像

2×2行列(2次正方行列) $A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$ で表される。
図形を原点を中心に変形させる。変形は伸縮と剪断と回転からなる。
原点(0,0)は動かない。(平行移動はしない)
伸縮は、原点を中心とした、任意の2方向への、各々任意の倍率の伸縮。
1方向の倍率がゼロであれば、変形後の図形は線になる。(つぶれる)
2方向とも倍率がゼロであれば、変形後の図形は点になる。(つぶれる)
1方向の倍率がマイナスであれば、変形後の図形は裏返る。(鏡像になる)
2方向とも倍率がマイナスであれば、180度回転と同じことである。
剪断は原点を中心に、ある一方向に平行に斜めにずらすこと。
回転は原点を中心とした任意角度の回転。

単位ベクトル $e_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}, e_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$ は、 $e'_1= \begin{pmatrix} a \\ c \\ \end{pmatrix}, e'_2= \begin{pmatrix} b \\ d \\ \end{pmatrix}$ に写る。
つまり単位ベクトル $e_1, e_2$ が作る正方形は $e’_1, e'_2$ が作る平行四辺形に写る。

行列式

行列式 $\det(A) = |A| = ad -bc$ は、 $A= \begin{pmatrix} e'_1 & e'_2 \end{pmatrix}$ が作る平行四辺形の面積を表す。
つまり、変形後の図形の面積が何倍になるかを表す。
行列式がゼロであれば、変形後の図形はつぶれて線か点になる。
行列式がマイナスであれば、変形後の図形は裏返る。(鏡像になる)
行列式がゼロであれば、逆行列が存在しない。
これは、線や点につぶれてしまった図形は逆変形で元に戻せないことを意味する。

固有値と固有ベクトル

行列Aに対し、 $Ax = λx$ を満たす $x$ と $λ$ を、固有ベクトルと固有ベクトルという。
固有ベクトルとは、Aによる変形で方向が変化しないベクトルである。
固有値とは、Aによる変形で固有ベクトルが伸縮する倍率である。
つまり、固有ベクトルと固有値は、伸縮の向きと倍率を表す。
固有ベクトルの同じ方向のベクトルは全て固有ベクトルとなるから、
固有ベクトルは任意定数倍をともなった形で表される。
固有値がゼロであれば、変形後の図形はつぶれて線か点になる。
固有値が1つのみマイナスであれば、変形後の図形は裏返る。(鏡像になる)
固有値が2つともマイナスであれば、180度回転となる。
固有値が複素数であれば、楕円上の回転と伸縮になる。

固有方程式

固有方程式 $|A-λE| = 0$ を解けば、固有値 λ が求まる。
$λ$ の解 $λ_i$ に対して、 $(A-λE)x = 0$ を解けば、固有ベクトル $x_i$ が求まる。
固有方程式は2次方程式なので、実数解2つ、実数解1つ(重根)、共役複素解を持つ場合がある。
実数解2つの場合は、2組の固有ベクトルと固有値の組は、2方向への伸縮を表す。
実数解1つで A=λE の場合は、縦横比を保った伸縮を表す。(全方向に λ 倍する。)
実数解1つで A≠λE の場合は、固有ベクトル方向に平行な剪断を表す。
共役複素解の場合は、楕円上の回転と伸縮になる。

参考