ノート：2次元の線形写像の幾何学的な意味 (2)

数学

ノート：2次元の線形写像の幾何学的な意味 - 滴了庵日録 の具体例を示す。

変換の意味 行列 A 行列式 |A| 固有値 λ 固有ベクトル x
x方向に2倍 \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} 2 2, 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
y方向に2倍 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix} 2 1, 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
x方向に-1倍(左右反転) \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} -1 -1, 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
y方向に-1倍(上下反転) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} -1 1, -1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
xとyの入れ替え
(y=xを軸に反転)		 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} -1 1, -1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
x方向に0倍
(y軸上につぶれる)		 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} 0 0, 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
y方向に0倍
(x軸上につぶれる)		 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} 0 1, 0 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
x方向y方向とも2倍 \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix} 4 2 (重根) 任意の非零ベクトル
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
x方向y方向とも-1倍
(上下左右反転=180°回転)		 \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} 1 1 (重根) 任意の非零ベクトル
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
x方向y方向とも0倍
(原点につぶれる)		 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} 0 0 (重根) 任意の非零ベクトル
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
y=2x方向に2倍
y=x方向に3倍		 \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix} 6 2, 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
x方向の剪断 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} 1 1(重根) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
y方向の剪断 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} 1 1(重根) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
回転 \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix} 1 \cos\theta\pm i\sin\theta
= e^{\pm i\theta} 		\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}