ノート：2次元の線形写像の幾何学的な意味 (3)

ノート：2次元の線形写像の幾何学的な意味 (2) - 滴了庵日録の例のうち対角でない行列を対角化する。

対角化の方法

2次正方行列 $A$ に対して、2個の一次独立な固有ベクトル $x_1, x_2$ とその固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ があるとき、
$P=(x_1　x_2)$ とおくと、 $P^{-1}AP$ は対角行列になり、その値は $\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ \ 0 & \lambda_2 \\ \end{pmatrix}$ となる。
$B = P^{-1}AP$ とおくと、 $A = PBP^{-1}$ となる。
一次独立な固有ベクトルが2個なければ対角化できない。

具体例

変換の意味	行列 A	固有ベクトル x	行列P	$P^{-1}AP$
xとyの入れ替え (y=xを軸に反転)	$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$
y=2x方向に2倍 y=x方向に3倍	$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix}$
x方向の剪断	$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$	なし	なし
y方向の剪断	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$	なし	なし
回転	$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \\ \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \\ \end{pmatrix}$

幾何学的な意味

xとyの入れ替え (y=xを軸に反転)

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に写し、y座標を反転し、 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ に戻す。

つまり、反転の軸が y=0 になるように変形してから反転し、変形を元に戻している。

y=2x方向に2倍、y=x方向に3倍

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に写し、x座標を2倍、y座標を3倍して、

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ に戻す。

つまり、2倍する方向がx軸方向、3倍する方向がy軸方向になるように変形してから拡大し、
変形を元に戻している。