ノート：準同型定理

部分群

ある群の部分集合であって、それ自身も群となるもの。
部分群 H⊂G とは、Gが群であり、Gと同じ演算に関してHが群であること。
H≤G と書くこともある。

$^∀a,b ∈ H　→　a◦b ∈ H$ 　(演算に関して閉じている)
$e_G ∈ H$ 　　　　　　　　　　　 (単位元を含む)
$^∀a ∈ H　→　a^{-1} ∈ H$ 　　　(逆元に関して閉じている)

例

(Z,+) ⊂ (Q,+) ⊂ (R,+) ⊂ (C,+)　(整数、有理数、実数、複素数の加法群)
(4Z, +) ⊂ (Z,+)　(加法に関して、4の倍数は整数の部分群)
1+4Z は Zの部分集合だが、加法に関して群ではない。

正規部分群

部分群 H⊂G が正規部分群であるとは、
$^∀g ∈ G　→　gHg^{-1} = H$ つまり $gH = Hg$ であること。

ここで、gH = {gh | h∈ H} を意味する。
Gが可換群であれば、交換法則が成り立つのでHは必ず正規部分群となる。
Gが群なら、Gそのものや単位元のみの集合{e}は正規部分群となる。(自明な正規部分群)
Hが正規部分群であれば、剰余集合 G/H が群になる。(剰余群)

例1
(Z,+) は可換群なので、(4Z, +) ⊂ (Z,+) は正規部分群。

例2
一般線形群 GL(n,F) とは逆行列を持つn×n行列(n次正則行列)の乗法群である。
ここで、Fは実数Rや複素数Cなどである。
一般線形群は非可換群である。(乗算の交換法則が成り立たない)
特殊線型群 SL(n,F)は、GL(n,F)の中で行列式が1であるものの群である。
すなわち、SL(n,F)={A∈GL(n,F)∣det(A)=1}
SL(n,F) は GL(n,F)の正規部分群である。

例3
$G = GL(2, R),　H= \{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\}$ とすると、
Hは乗法に関してGの部分群である。
しかし、一般に $g∈G$ に対して $gHg^{-1} = H$ とはならない。
たとえば $g=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ なら $g^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix}$ であり、
$h = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} ∈ H$ に対して、 $ghg^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix} ∉ H$
よって、Hは正規部分群ではない。