ノート：群・モノイド・半群・マグマ(亜群)

代数系とは、集合 (例えば整数 Z ) と演算 (例えば加法 +) の組。
例えば Z と + の組を (Z, +) のようにあらわす。
集合だけでは代数系ではない。

群・モノイド・半群・マグマ(亜群)は代数系で、下図のような包含関係にある。
内側のものほど「強い」、外側のものほど「弱い」という言い方をする。

集合 G と二項演算 ◦ の組 { G, ◦ } が

(G0) G が ◦ に関して閉じている
　 $^{∀}a, b ∈ G,　a \circ b ∈ G$

(G1) ◦ に結合法則がなりたつ
　 $^{∀}a, b ∈ G,　a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c$

(G2) ◦ に単位元がGに存在する
　 $^{∃}e ∈ G, ^{∀}a ∈ G,　a \circ e = e \circ a = a$

(G3) Gの全ての元に対して逆元が存在する
　 $^{∀}a ∈ G, ^{∃}a^{-1} ∈ G,　a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e$

	条件	集合 G	演算 a◦b	単位元 e
マグマ	閉じている	自然数 1,2,3,...	2a+b	なし
半群	結合法則	自然数 1,2,3,...	加法 a+b	なし
モノイド	単位元がある	非負整数 0,1,2,3,...	加法 a+b	0
群	逆元がある	整数 Z	加法 a+b	0

	条件	集合 G	演算 a◦b	単位元 e
マグマ	閉じている	整数 Z	2a+b	なし
半群	結合法則	整数 Z	2ab	なし
モノイド	単位元がある	整数 Z	乗法 a・b ab+a+b	1 0
群	逆元がある	整数 Z	加法 a+b	0