メモ：クォータニオンと回転行列

回転とクォータニオン

３次元空間での回転をクォータニオンで表すことを考える。

回転軸のベクトルを ${\bf n}$ 、回転角を $\theta$ とすると

回転を表すクォータニオンは ${\bf q} = \cos \frac{\theta}{2} + {\bf n} \sin \frac{\theta}{2}$

${\bf n} = \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)$ なら ${\bf q} = \left(\begin{array}{c} q_{0} \\ q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \\ \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} \cos \frac{\theta}{2} \\ x \sin \frac{\theta}{2} \\ y \sin \frac{\theta}{2} \\ z \sin \frac{\theta}{2} \\ \end{array} \right)$

この回転でベクトル ${\bf r} = \left(\begin{array}{c} r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3} \\ \end{array} \right)$ が ${\bf r'}$ に写像されるとすると

ベクトル ${\bf r}$ をクォータニオン ${\bf r} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3} \\ \end{array} \right)$ と読み替えて

${\bf r'} = {\bf q r q^{*}}$

ただし、 ${\bf q^{*}}$ は ${\bf q}$ の共役クォータニオンで、 ${\bf q^{*}} = \left(\begin{array}{r} q_{0} \\ -q_{1} \\ -q_{2} \\ -q_{3} \\ \end{array} \right)$

回転行列

同じ回転を表す行列を $R$ とすると

${\bf r'} = R {\bf r}$

この行列 $R$ とクォータニオン ${\bf q}$ の間には次式が成り立つ。

$R = \left(\begin{array}{ccc} q_{0}^{2} + q_{1}^{2} - q_{2}^{2} - q_{3}^{2} & 2(q_{1}q_{2} - q_{0}q_{3}) & 2(q_{1}q_{3} + q_{0}q_{2})\\ 2(q_{1}q_{2} + q_{0}q_{3}) & q_{0}^{2} - q_{1}^{2} + q_{2}^{2} - q_{3}^{2} & 2(q_{2}q_{3} - q_{0}q_{1})\\ 2(q_{1}q_{3} - q_{0}q_{2}) & 2(q_{2}q_{3} + q_{0}q_{1}) & q_{0}^{2} - q_{1}^{2} - q_{2}^{2} + q_{3}^{2}\\ \end{array} \right)$

これは、基底ベクトル $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ の回転による写像を並べたものである。

回転行列は方向余弦行列(DCM)とも呼ばれる。

回転を表現する方法の比較

方法	パラメータ数	ジンバルロック	計算量
オイラー角	3	×(有)	×(大)
回転ベクトル(軸角度表現)	3(4)	〇(無)	△(中)
回転行列	9	〇(無)	〇(小)
クォータニオン	4	〇(無)	〇(小)

オイラー角は人間にとっては直感的(せやろか？)と言われるが、ジンバルロックがあるし、三角関数を多用し計算量が多いのでコンピュータでの内部表現にはあまり向かない。回転ベクトル(軸角度表現)も三角関数を使うがオイラー角よりは少ない。回転行列はもっとも単純明解な数式で回転を記述できるがパラメータ数が多い。クォータニオンはパラメータ数も少なく、計算量も少ない。(しらんけど)

参考ページ

qiita.com
kamino.hatenablog.com
risalc.info